ADC 將輸入值轉(zhuǎn)換為一組離散級(jí)別中的一個(gè)值，并輸出數(shù)字代碼以指定量化級(jí)別。量化過(guò)程會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)一些誤差。

本文將通過(guò)將斜坡輸入應(yīng)用于量化器來(lái)研究量化誤差。然后，我們將看一個(gè)示例，其中量化誤差類(lèi)似于噪聲源。此外，我們將討論使用噪聲源對(duì)量化誤差進(jìn)行建模的優(yōu)點(diǎn)。我們將在本文的下一部分繼續(xù)討論。在那里，我們將研究允許我們使用噪聲模型的假設(shè)，并且我們將使用獲得的模型來(lái)表征量化誤差的影響。

理想的 ADC

理想的單極三位 ADC 的傳遞函數(shù)如圖 1 所示。

 

圖 1

 

模擬輸入的滿(mǎn)量程 (FS) 值被分為八個(gè)相等的間隔（用 ?、1/4、... 表示）。在這些間隔的中點(diǎn)，存在從一個(gè)數(shù)字輸出值到下一個(gè)數(shù)字輸出值的轉(zhuǎn)變。除個(gè)和一個(gè)臺(tái)階外，其他臺(tái)階的寬度都等于 FS/8。步長(zhǎng) (FS/8) 還指定輸出數(shù)字代碼的有效位 (LSB) 的模擬值。因此，如果我們將上述 ADC 的輸出應(yīng)用于理想的數(shù)模轉(zhuǎn)換器（圖 2），代碼 001 將產(chǎn)生模擬值 FS/8，代碼 010 將產(chǎn)生 FS/4，依此類(lèi)推。

 

圖2

幅度量化誤差

這里重要的一點(diǎn)是，給定的數(shù)字代碼代表一系列模擬輸入值；輸入的幅度被量化。例如，從FS/16到3*FS/16的所有輸入值都由一個(gè)輸出代碼（代碼001）表示。如果我們將 ADC 的輸出連接到理想的三位 DAC（圖 2），代碼 001 將產(chǎn)生模擬值 FS/8。因此，從 FS/16 到 3*FS/16 的模擬值由單個(gè)模擬值 FS/8 表示。因此，即使是理想的幅度量化也會(huì)引入一些誤差。該誤差稱(chēng)為量化誤差 (V q )，可以通過(guò)從 DAC 輸出 (V out ) 中減去 ADC 輸入 (V in ) 來(lái)計(jì)算，如下圖 3 所示。

 

圖3

 

斜坡輸入的量化誤差

讓我們將斜坡信號(hào)應(yīng)用于上述設(shè)置的輸入，并更仔細(xì)地檢查量化誤差。圖 4 中的藍(lán)線顯示了應(yīng)用于輸入的斜坡。此外，該圖以紅色顯示了我們?cè)?DAC 輸出中獲得的量化電平。

 

圖4

 

在t 0和t 1之間，輸入小于FS/16?？紤]到圖 1 的輸入輸出特性，ADC 輸出為 000，這給出了量化模擬值 V out = 0。如圖 5 所示，此間隔的量化誤差從 0 到 - ? ? FS/8（負(fù)半個(gè) LSB）。

 

圖5

 

在t 1和t 2之間，輸入大于FS/16且小于3FS/16。ADC 輸出為 001，給出量化模擬值 V out = FS/8（見(jiàn)圖 1 和 4）。對(duì)于此間隔，量化誤差范圍為 + ? ? FS/8 到 - ? ? FS/8（參見(jiàn)圖 5）。同樣，我們可以找到其他量化級(jí)別的誤差值，如圖 5 所示。請(qǐng)注意，除了一個(gè)級(jí)別之外，量化誤差始終在 ± FS/16（半個(gè) LSB）之間。

現(xiàn)在我們可以使用圖 5 來(lái)計(jì)算斜坡輸入的量化誤差的均方根 (RMS) 值。在區(qū)間 T 1 < t < T 2內(nèi)定義的函數(shù) f(t) 的 RMS可通過(guò)以下等式獲得：

 

 

對(duì)于圖 5 的誤差波形，我們有：

 

 

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們忽略波形的部分 (0 < t < t 1 ) 和部分 (t 8 < t < t 9 )。隨著量化器分辨率的提高，忽略這兩部分而引入的誤差會(huì)減小。我們獲得：

 

 

上式中的積分對(duì)應(yīng)于同一信號(hào)的時(shí)移版本。時(shí)間平移不會(huì)改變曲線下的面積（或等效地，其積分）。因此，這些積分項(xiàng)是相等的。由于 t 2 -t 1 = t 3 -t 2 = …= t 8 -t 7，我們可以將上式簡(jiǎn)化為：

 

公式1

我們可以直接計(jì)算上面的積分。然而，為了使計(jì)算更簡(jiǎn)單，我們假設(shè)t 2 -t 1 = T并對(duì)波形應(yīng)用-T/2的時(shí)移。因此，我們可以簡(jiǎn)單地計(jì)算 V q ,new (t)的 RMS，如下圖 6 所示。

 

圖6

 

因此，方程 1 可以重寫(xiě)為

 

公式2

 

其中 V q ,new (t) 由以下等式給出：

 

 

將此方程代入方程 2 并計(jì)算得出

 

 

我們知道FS/8是LSB的模擬值。因此，RMS 誤差由以下等式給出：

 

這是一個(gè)重要的結(jié)果，我們稍后將再次推導(dǎo)它（在本文的第二部分），從不同的角度看待問(wèn)題。

讓我們總結(jié)一下迄今為止的發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)，即使是理想的幅度量化也會(huì)在系統(tǒng)中引入一些誤差，稱(chēng)為量化誤差。為了研究該誤差的一些特性，我們應(yīng)用了斜坡輸入并觀察到誤差的 RMS 與 LSB 值成正比。此外，如圖 5 示例所示，量化誤差始終在 ±LSB/2 之間。提高量化器的分辨率將減少 LSB 和誤差項(xiàng)。此外，忽略圖 5 中波形的部分 (0 < t < t 1 ) 和部分 (t 8 < t < t 9 )，我們觀察到誤差的平均值為零。另請(qǐng)注意，對(duì)于給定的輸入值，我們可以計(jì)算出誤差的準(zhǔn)確值。

更復(fù)雜輸入的量化誤差

盡管上述討論使我們能夠深入了解量化誤差的某些屬性，但它基于一個(gè)不切實(shí)際的假設(shè)，即輸入是斜坡。讓我們看另一個(gè)例子。這次我們對(duì)離散余弦信號(hào) x[n]=0.99cos(n/10) 進(jìn)行量化，如圖 7 所示。

 

圖 7圖片由離散時(shí)間信號(hào)處理提供。

 

如果我們對(duì)該信號(hào)應(yīng)用 8 位量化器，量化誤差序列將如圖 8 所示。

 

圖 8圖片由離散時(shí)間信號(hào)處理提供。

與斜坡輸入的情況不同，此示例的誤差似乎不遵循某種模式，并且計(jì)算 RMS 誤差并不容易。將此示例的輸入余弦與錯(cuò)誤序列進(jìn)行比較，我們觀察到以下內(nèi)容：

 

• 輸入是單頻信號(hào)，但誤差信號(hào)的頻率內(nèi)容似乎有很大不同。它的變化很快，因此我們期望它具有高頻成分。
• 我們無(wú)法通過(guò)目視檢查識(shí)別輸入余弦和錯(cuò)誤序列之間的聯(lián)系。錯(cuò)誤序列似乎與輸入不相關(guān)，并且從一個(gè)樣本到下一個(gè)樣本隨機(jī)變化。

正如我們?cè)谛逼螺斎胧纠杏^察到的那樣，我們知道量化誤差信號(hào)并不是真正隨機(jī)的，實(shí)際上可以針對(duì)給定的輸入值進(jìn)行計(jì)算。但是，如果我們可以在某些假設(shè)下將量化誤差建模為隨機(jī)信號(hào)呢？量化誤差的幅度在 ±LSB/2 之間，這可能是一個(gè)很小的值，特別是當(dāng)我們處理高分辨率量化器時(shí)。現(xiàn)在，如果這個(gè)低幅度信號(hào)以不可預(yù)測(cè)的方式變化，人們可能會(huì)得出結(jié)論，它類(lèi)似于我們通常在不同電路和系統(tǒng)中遇到的噪聲源。

 

將量化誤差建模為噪聲源的優(yōu)點(diǎn)

將量化誤差視為噪聲源可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化很多。我們知道如何分析特定類(lèi)型的噪聲源對(duì)線性時(shí)不變 (LTI) 系統(tǒng)的影響。噪聲源的瞬時(shí)值通常是不可預(yù)測(cè)的，因此時(shí)域分析是不可能的。然而，我們可以長(zhǎng)時(shí)間觀察噪聲，并利用測(cè)量結(jié)果找到噪聲的統(tǒng)計(jì)模型。例如，噪聲源的一個(gè)有用特征是其“功率譜密度”（PSD），它使我們能夠深入了解不同頻帶中噪聲的平均功率。具有噪聲信號(hào)的 PSD，

因此，假設(shè)可以通過(guò)噪聲源對(duì)量化過(guò)程進(jìn)行建模，我們只需要找到噪聲模型的功率譜密度，并用它來(lái)表征誤差對(duì)系統(tǒng)性能的影響。在這種情況下，我們可以使用圖 3 的模型來(lái)描述具有加性噪聲源的量化過(guò)程，如圖 9 所示。如您所見(jiàn)，量化值 (V out ) 等于輸入( V in )加上模擬量化誤差 (V q )的噪聲信號(hào)。

 

圖9

 

在本文的下一部分中，我們將研究將量化誤差建模為噪聲源的條件。然后，我們將深入研究所獲得模型的一些重要特征，并使用它們來(lái)分析量化誤差對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

結(jié)論

即使是理想的幅度量化也會(huì)在系統(tǒng)中引入一些誤差，稱(chēng)為量化誤差。該誤差的 RMS 與 LSB 值成正比。看來(lái) 我們可以在某些假設(shè)下將量化誤差建模為噪聲信號(hào)。如果可能的話(huà)，這可以顯著簡(jiǎn)化分析量化誤差對(duì)系統(tǒng)性能的影響。