傳遞函數(shù)塑造噪聲

圖 1 顯示了假設(shè)噪聲源的頻譜，該噪聲源在所有頻率下均表現(xiàn)出相同的平均功率，即

，其中 η 是常數(shù)。

假設(shè)噪聲源的頻譜。

圖 1. 假設(shè)噪聲源的頻譜。

如果我們將此噪聲應(yīng)用于 LTI 系統(tǒng)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)將決定不同頻率下的輸出平均功率。例如，如果系統(tǒng)是直流增益為1的理想低通濾波器，則濾波器阻帶中的所有噪聲頻率分量將被完全抑制。然而，通帶中的頻率分量將不受影響（圖 2）。

該示例顯示通帶中的頻率分量如何保持不受影響。

圖 2. 顯示通帶中的頻率分量如何保持不受影響的示例。

一般來(lái)說(shuō)，可以證明給定頻率處的功率電平將被等于該頻率處傳遞函數(shù)幅度的平方的因子修改。這在數(shù)學(xué)上用以下等式表示：

\[S_{輸出}(f)=S_{輸入}(f) \times \left | H(f)\右|^2\]

公式1

其中 H(f) 表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。在此等式中，

\[S_{輸出}(f)=S_{輸入}(f) \times \left | H(f)\右|^2\]

是以 V 2 /Hz 為單位的噪聲功率譜密度（而不是以 \(V / \ sqrt{Hz}\)) 。該方程揭示了系統(tǒng)傳遞函數(shù)如何塑造噪聲。

使用這個(gè)基本方程，我們可以分析噪聲對(duì) LTI 系統(tǒng)輸出的影響。

從功率譜密度 (PSD) 中查找 RMS 噪聲

我們知道 S X (f) 指定了 f 周圍 1 Hz 帶寬中噪聲波形 X 的功率。既然我們知道這一點(diǎn)，我們就可以通過(guò)計(jì)算該頻帶中S X (f)下的總面積來(lái)計(jì)算給定帶寬上的總噪聲功率。

對(duì)于圖 3 所示的功率譜密度，陰影區(qū)域 (A 1 ) 給出了從 f 1到 f 2頻帶內(nèi)的總噪聲功率。

顯示功率譜密度的示例圖，其中陰影區(qū)域是頻帶 f1 至 f2 中的總噪聲功率。

圖 3. 顯示功率譜密度的示例圖，其中陰影區(qū)域是頻段 f 1至 f 2中的總噪聲功率。

我們假設(shè) A 1可以用面積 A 2 來(lái)近似， 如圖 4 所示。

類似圖3； 然而，我們正在近似 A2 的面積。

圖4. 與圖3類似的圖；但是，我們正在近似A 2的面積 。

如果圖 4 中的縱軸以 Ptot=(f2?f1)

Ptot=(f2f1)η

為單位，則從 f 1到 f 2的總噪聲功率將為：

Vn,RMS=√(f2f1)η

這是就V 2而言的。噪聲 RMS（單位：V）可通過(guò)計(jì)算上述值的平方根得出：

Vn,RMS=η√f2f1

然而，制造商通常通過(guò)提供 PSD 的平方根來(lái)指定其產(chǎn)品的噪聲性能。

對(duì)于圖 3 所示的示例，我們計(jì)算了 f 1到 f 2頻率范圍內(nèi)的噪聲功率，并完全忽略了該范圍之外的所有頻率分量。

在實(shí)踐中，我們通常需要計(jì)算受濾波器帶寬限制的頻率范圍內(nèi)的噪聲功率?，F(xiàn)實(shí)世界的濾波器不能有從通帶到阻帶的突然轉(zhuǎn)變。因此，我們必須考慮濾波器滾降區(qū)域中頻率分量的功率。

圖 5 顯示了實(shí)際的低通濾波器如何只能部分抑制滾降區(qū)域中的噪聲分量。

顯示低通濾波器如何部分抑制滾降區(qū)域的噪聲分量的示例。

圖 5. 示例顯示低通濾波器如何部分抑制滾降區(qū)域的噪聲分量。

讓我們看看如何考慮這些部分抑制的組件。假設(shè)圖 5 中的濾波器是一階低通濾波器，具有以下傳遞函數(shù)：H(f)=11+jff?3dB

濾波器輸出端的噪聲頻譜為：

S輸出(f)=S輸入(f)×|H(f)|2=η×1(1+ff?3dB)2

S輸出(f)=S輸入(f)×|H(f)|2=η×1(1+ff?3dB)2

濾波器輸出處的總噪聲功率可以通過(guò)在 0 到 ∞ 的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分

Ptot=∫∞0η×11+(ff?3dB)2df

并表現(xiàn)出從通帶到阻帶的理想突變，這等于我們將擁有的總噪聲功率。

因此，為了計(jì)算一階低通濾波器輸出端的總噪聲功率，我們可以假設(shè)濾波器滾降是突然的，并將濾波器帶寬增加 1.571 倍。我們通常將

。因子 1.571 有時(shí)是稱為形狀因子。

隨著濾波器階數(shù)的增加，其從通帶到阻帶的過(guò)渡變得越來(lái)越突然。這就是為什么我們期望高階濾波器具有更小的形狀因子。下面的表 1 顯示了不同濾波器階數(shù)的形狀因子。

過(guò)濾順序 形狀系數(shù)

1 1.57

2 1.11

3 1.05

4 1.03

5 1.02

在下一節(jié)中，我們將看到一個(gè)使用這些形狀因子來(lái)計(jì)算信號(hào)鏈中不同源的噪聲貢獻(xiàn)的示例。

多級(jí)級(jí)聯(lián)時(shí)的噪聲帶寬

當(dāng)我們有多個(gè)級(jí)聯(lián)級(jí)，每個(gè)級(jí)具有不同的帶寬時(shí)，我們應(yīng)該考慮給定噪聲源所經(jīng)歷的帶寬。

作為示例，請(qǐng)考慮圖 6 中所示的信號(hào)鏈。

示例信號(hào)鏈，包括帶寬、增益和 PSD。

圖 6. 示例信號(hào)鏈，包括帶寬、增益和 PSD。

該圖給出了每個(gè)級(jí)的增益和帶寬。此外，它還指定了每個(gè)級(jí)貢獻(xiàn)的噪聲頻譜，單位為\(nV/\sqrt{Hz}\)。放大器產(chǎn)生的噪聲在放大器帶寬 (100 kHz) 上為 \(100 nV/\sqrt{Hz}\)。當(dāng)該噪聲通過(guò)級(jí)聯(lián)級(jí)時(shí)，其帶寬可能進(jìn)一步受到不同級(jí)帶寬的限制。

鏈中的第二級(jí)是三階濾波器。由于三階傳遞函數(shù)的形狀因子為 1.05，因此該級(jí)的噪聲帶寬將為 1 kHz × 1.05 = 1.05 kHz 。這比驅(qū)動(dòng)器和 RC 濾波器的帶寬（分別為 100 MHz 和 3 MHz）小得多。因此，對(duì)于級(jí)產(chǎn)生的噪聲，我們應(yīng)該考慮1.05kHz的噪聲帶寬。

源自該級(jí)的 RMS 噪聲為

同樣，我們可以計(jì)算信號(hào)鏈中其他噪聲源的有效帶寬。

請(qǐng)注意，具有噪聲頻譜密度的組件不一定是系統(tǒng)主要的噪聲貢獻(xiàn)者。例如，放大器的PSD比驅(qū)動(dòng)器的PSD大幾倍。因此，人們可能會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為放大器產(chǎn)生的噪聲比驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生的噪聲大得多。然而，情況并非一定如此。在此示例中，驅(qū)動(dòng)器噪聲經(jīng)歷的帶寬是 RC 濾波器的帶寬。

它比放大器產(chǎn)生的 RMS 噪聲大得多。