解如何推導(dǎo)無損傳輸線的波動方程并查看其無限帶寬和相位常數(shù)。

當(dāng)您開始學(xué)習(xí)射頻設(shè)計(jì)時，可能遇到的令人惱火的事情之一就是傳輸線效應(yīng)。在過去的美好時光中，當(dāng)您在低頻板上工作時，電線只是一些互連，現(xiàn)在是由一些令人生畏的方程式描述的復(fù)雜組件！乍一看，這似乎很麻煩；然而，當(dāng)您對傳輸線了解得更多時，您終可能會發(fā)現(xiàn)它們因禍得福，并開始認(rèn)識到所有這些復(fù)雜性。由于其“分布式”特性，無損傳輸線可以提供無限帶寬。這與我們對低頻電路的直覺形成鮮明對比。

在本文中，我們將推導(dǎo)無損傳輸線的波動方程，并了解其無限帶寬的顯著特征。然而，在此之前，讓我們解釋一下傳輸線的“分布式”性質(zhì)是什么意思。

集總與分布式機(jī)制

 

當(dāng)電路尺寸與電路中短波長相當(dāng)時，電線應(yīng)視為傳輸線。這突出了電路元件和互連的兩種操作機(jī)制（即“集總”機(jī)制和分布式機(jī)制）之間的界限。在集總狀態(tài)下，我們處理較低的頻率，并且假設(shè)電信號無限快地通過電線傳播。術(shù)語“集總”是指我們可以在電路的某些特定區(qū)域中識別單獨(dú)的電容器和電感器。例如，請考慮圖 1 中所示的無源帶通濾波器。

 

無源帶通濾波器的示例原理圖。

圖 1. 無源帶通濾波器的示例圖。

在上圖中的“區(qū)域 A”中，磁能存儲占主導(dǎo)地位，因此，這部分電路表現(xiàn)為電感式。另一方面，在“區(qū)域 B”中，電能存儲在電場中，這意味著這部分被建模為電容器。在此示例中，可以使用一些集總電容器、電感器等來對電路行為進(jìn)行建模。我們大學(xué)學(xué)期教授的電路理論和分析實(shí)際上是集總元件電路分析。對于集總電路， 可以輕松應(yīng)用基爾霍夫電壓定律 (KVL) 和基爾霍夫電流定律 (KCL)來計(jì)算電路中的電壓和電流。

 

相反，在分布式系統(tǒng)中，我們無法識別單獨(dú)的電容器和電感器。例如，分布式區(qū)域中的均勻無損導(dǎo)線被建模為 LC 截面的無限梯形網(wǎng)絡(luò)（圖 2）。

 

LC 截面的無限梯形網(wǎng)絡(luò)。

圖 2. LC 截面的無限梯形網(wǎng)絡(luò)。

該模型表明，每根無限短的導(dǎo)線都以磁場和電場的形式存儲能量。這兩種形式的能量存儲分布在整個電線中。在這種情況下，我們無法將電路的電容部分和電感部分分開；它們是混合在一起的。

此外，在分布式狀態(tài)下，電信號以波的形式沿著導(dǎo)線傳播，這意味著電壓和電流是沿著導(dǎo)線的時間和位置的函數(shù)。因此，我們可以說 KVL 和 KCL 在高頻下不成立。

在下一節(jié)中，我將嘗試以相對容易理解的方式推導(dǎo)相位常數(shù)方程。如果您對學(xué)習(xí)推導(dǎo)不感興趣，可以跳過下一部分并從“方程摘要”部分繼續(xù)。

相位常數(shù)方程的推導(dǎo)

 

無損傳輸線可以通過兩個重要參數(shù)來表征：特性阻抗Z 0 和相位常數(shù)β。特性阻抗指定無限長線路的電壓波與電流波的比率。相位常數(shù)表征波如何隨位置變化。對于無損線路，Z 0 由公式 1 給出：Z0=√LC

 

等式 1。

為了推導(dǎo)出 β 的方程，我們需要找到圖 3 中梯形網(wǎng)絡(luò)模型中出現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)電壓和電流信號。

 

梯形網(wǎng)絡(luò)模型。

 

圖 3. 梯形網(wǎng)絡(luò)模型。

根據(jù)個 LC 部分顯示的電壓和電流參數(shù)，基爾霍夫電壓定律可得出：

v(x+Δx,t)?v(x,t)=?LΔx×di(x,t)dt

兩邊除以 Δx，我們有：

v(x+Δx,t)?v(x,t)Δx=?L×di(x,t)dt

如果我們考慮當(dāng) Δx 接近零時該方程的極限，左側(cè)的表達(dá)式實(shí)際上變成 v(x, t) 對 x 的導(dǎo)數(shù)。因此，上式可以改寫為式2：dv(x,t)dx=?L×di(x,t)dt

等式2。

 

對于無限長的線，沿線任意點(diǎn)的電壓與電流之比等于Z 0。從方程 1 中，我們得到：i(x,t)=v(x,t)Z0=v(x,t)√CL

 

通過替換公式 2 中的 i(x, t)，可得出公式 3：

dv(x,t)dx=?√LC×dv(x,t)dt

等式 3。

現(xiàn)在兩邊都是線電壓，但左邊是 v(x, t) 對位置的導(dǎo)數(shù)，而右邊包括函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)。由于我們想要對正弦激勵進(jìn)行穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（例如 v s (t) = Acos(ωt) ），因此我們可以使用電路理論中的相量概念。

對于此分析，我們可以假設(shè)輸入是復(fù)指數(shù)電壓 Ae jωt 而不是 v s (t) = Acos(ωt)，然后我們找到感興趣的電壓或電流信號。，我們?nèi)∷@得信號的實(shí)部來找到實(shí)際輸入 v s (t) = Acos(ωt) 產(chǎn)生的輸出。

當(dāng)我們將 Ae jωt應(yīng)用于 電路時，項(xiàng) e jωt 出現(xiàn)在所有電壓和電流量中。例如，v(x,t)可以被認(rèn)為是V(x)e jωt，其中V(x)是被稱為v(x,t)的相量的復(fù)數(shù)值。在基本電路理論中，相量顯然不依賴于位置，因?yàn)槲覀冋谔幚砑傠娐?。然而，在傳輸線分析中，我們期望相量是位置的函數(shù)。將 v(x, t) 替換為 V(x)e jωt，方程 3 得出：

 

ddx(V(x)ejωt)=?√LC×ddt(V(x)ejωt)

 

V(x) 不是時間的函數(shù)，e jωt 也不是 x 的函數(shù)。因此，使用一點(diǎn)代數(shù)，上面的方程可以簡化為：

 

dV(x)dx=?jω√LC×V(x)

 

這個一階微分方程的解對于電子工程師來說應(yīng)該很熟悉：

 

V(x)=V0e?jω√LCx

 

其中V 0 是一個常數(shù)，可以從線路輸入和輸出端口的邊界條件中找到。從相量分析中，我們知道 V(x)e jωt的實(shí)部 是將 v s (t) = Acos(ωt) 應(yīng)用于輸入時得到的輸出。因此，我們終的電壓波為：

 

v(x,t)=實(shí)數(shù) (V(x)ejωt)=V0cos(ωt?ω√LCx)

 

定義相位常數(shù)

β=ω√LC ? = ? ? ?

 

 

 

我們得到：

 

v(x,t)=V0cos(ωt?βx)

 

等式 4。

這與我們在上一篇文章中討論電壓波如何沿著傳輸線傳播時使用的波函數(shù)相同。將方程 4 除以 Z 0 得到正向電流波，如方程 5 所示：

 

i(x,t)=V0Z0cos(ωt?βx)

 

等式 5。

無損過渡線方程總結(jié)

在上一節(jié)中，我們推導(dǎo)了正向電壓和電流波的方程。一般來說，前向波和反射波可以同時出現(xiàn)在線路上。對于無損線路，總電壓和電流波采用以下形式：

 

 

v(x,t)=Acos(ωt?βx)+Bcos(ωt+βx)<a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">(</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">,</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">)</a><a href="http://1111">=</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">(</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">)</a><a href="http://1111">+</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">(</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">+</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">)</a>

 

 

 

i(x,t)=AZ0cos(ωt?βx)?BZ0cos(ωt+βx)

其中特性阻抗Z 0 和相位常數(shù)β為：

 

 

Z0=√LC<a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">0</a><a href="http://1111">=</a><a href="http://1111">?</a><a href="http://1111">?</a>

 

 

 

$$\beta =\omega \sqrt{LC}$$

傳輸線的分布式效應(yīng)：期望還是麻煩？

由于高頻電信號的波動行為，射頻設(shè)計(jì)人員熱衷于將負(fù)載阻抗與線路的特性阻抗相匹配。如果沒有阻抗匹配，則無法將功率傳輸?shù)截?fù)載，并且駐波產(chǎn)生的大峰值電壓可能會損壞電路元件或互連。然而，傳輸線的分布式行為導(dǎo)致了一個非常有趣的特性。

根據(jù)以上分析，如果用任意頻率 ω 1的正弦波 v s (t) = Acos(ω 1 t)激勵線路，則正向電壓波為：

 

v(x,t)=V0cos(ω1t?βx)

 

代入 β，我們得到：

 

v(x,t)=V0cos(ω1t?ω1√LCx)=V0cos(ω1(t?√LCx))

 

我們在給定位置 x 獲得的信號與輸入相同，只是延遲了

x√LC x L C

 

 

。該結(jié)果對于任何頻率都有效。的假設(shè)是線路是無損的并且充當(dāng)傳輸線。如果延遲與頻率相關(guān)，則輸入的不同頻率分量將經(jīng)歷不同量的延遲，從而導(dǎo)致輸出失真。例如，如果我們將脈沖施加到具有與頻率相關(guān)的延遲的系統(tǒng)，則輸出可能會完全失真，因?yàn)椴煌念l率分量以不相等的時移到達(dá)輸出。

如方程式所示，無損傳輸線以相同的延遲通過所有頻率分量。換句話說，線路具有無限的帶寬。如果我們增加 L 和 C，延遲將會增加，但所有頻率分量仍然會有恒定的延遲。如果您將其與我們對集總低頻電路的直覺進(jìn)行比較，您會發(fā)現(xiàn)這個功能更加令人驚訝，在集總低頻電路中，增加電容器值通常會降低系統(tǒng)帶寬。

除了均勻延遲之外，我們還應(yīng)該具有與頻率無關(guān)的衰減，以擁有無限帶寬的系統(tǒng)。在上面的討論中，我們假設(shè)線路是無損的，因此所有頻率的衰減都為零。