在量子力學(xué)的框架中，Bloch波代表了一種“工具”，該工具使我們通過相應(yīng)的特征值重建不僅表征金屬，而且還表征半導(dǎo)體和半學(xué)分的能量帶。但是，為了更大程度地遵守物理現(xiàn)實，我們必須考慮波數(shù)據(jù)包，即Bloch波的疊加。

為了避免計算中不必要的并發(fā)癥，讓我們像往常一樣考慮我們的玩具模型，即一個一維晶格，其中包含周期A的周期性勢能場V（x），后者是晶格的音調(diào)。在極限情況下，V（x）= 0我們有自由電子，量子力學(xué)告訴我們，能量本征函數(shù)是寫入的（多達到歸一化因素）：

其中k是波數(shù)。在任何時候，單電子波函數(shù)都寫入：

電力電子的科學(xué)筆記：電子波的群體延遲

讓我們立即注意到，公式（2）描述的量子機械狀態(tài)不是“局部”狀態(tài)。更確切地說，由于X軸和給定的瞬間的給定點，無法定義電子定位的概率，因為正方形模塊的積分延伸在整個真實軸線上。通過使用Dirac Delta函數(shù)，通過斷言它是一個擴散過程來重新解釋結(jié)果，即電子來自-∞，轉(zhuǎn)到 +∞。從數(shù)學(xué)上講，公式（2）中類型的對象稱為不當(dāng)特征（能量）。

但是，有一個數(shù)學(xué)上的技巧使我們能夠?qū)植繝顟B(tài)使用方程（2）：足以將這些波利用在無窮大迅速消失的調(diào)制包膜中，以使上述積分融合。想到的個功能是高斯人，也是因為它在傅立葉變換下是不變的。因此，很好地表示粒子的波函數(shù)是波數(shù)據(jù)包：

電力電子的科學(xué)筆記：電子波的群體延遲

其中a（k ）是初始配置文件ψ（x， 0）的傅立葉變換;如果后者是由以x 0為中心的高斯包圍的正弦振蕩，則其傅立葉變換a（k）又是一個以k 0為中心的高斯，為k 0（初始剖面的正弦振蕩的數(shù)量）。有關(guān)數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，請參見參考書目2。

在進行繼續(xù)之前，我們必須了解稱為分散定律的功能ω（k ）的物理含義。為此，我們觀察到波數(shù)據(jù)包是單色波的線性疊加。通過這種表達，我們指的是正弦振蕩，該振蕩具有同樣的正弦定律在太空中傳播的。因此，我們有兩個特征數(shù)量：時間頻率為頻率ν和空間中的周期λ（波長）。

在真空中電磁波的情況下，這兩個數(shù)量由λ= c/ν= ct連接，其中t是時間的振蕩周期，C是真空中的光速。這種關(guān)系只是告訴我們，對于真空中的電磁波，波長是時間t的空間。如果我們現(xiàn)在疊加幾個單色波或組成波數(shù)據(jù)包，我們會發(fā)現(xiàn)單個組件以相同的速度c傳播。

從數(shù)學(xué)角度來看，以波數(shù)k =2π /λ和角頻率ω = 2πν表示先前的關(guān)系很方便，獲得了簡單的線性關(guān)系ω（k）= ck。但是，我們看到在de Broglie波的情況下，ω（k）是二次的。因此，單個單色組件并非都以相同的速度傳播。這是分散法的含義。無論如何，如果| a（k）|在波數(shù)k 0周圍極高的峰值可以通過截斷為一階的泰勒序列膨脹來線性化函數(shù)ω（k）。這種情況使我們能夠定義一個在k 0中計算出的ω（k）的衍生物給出的組速度v g ，該衍生物小于相速度v p = ω（k）/k。

也就是說，沿著de Broglie數(shù)據(jù)包的線路（3），我們可以編寫B(tài)loch數(shù)據(jù)包的波函數(shù)，回想起現(xiàn)在能量的特征函數(shù)是：

因此：

這是一個非常復(fù)雜的物體。為簡單起見，我們可以參考調(diào)制包膜不取決于波數(shù)k的特定定期電勢（直到降低的普朗克常數(shù)）是晶體動量。具有明顯的符號含義：

 

因此，如果調(diào)制包膜不依賴于K，則Bloch波數(shù)據(jù)包是Broglie Wave Packet a振幅調(diào)制的DE Broglie波數(shù)據(jù)包，其周期函數(shù)的周期函數(shù)等于光柵螺距。

因此，對于上述周期電位類別，我們可以將自己限制在研究Broglie數(shù)據(jù)包的傳播中，并使用以下處方：ω（k ）在K中不再是Quadratic ；例如，對于玩具模型，我們找到了k的余弦函數(shù)。通常，這是正確的：物理空間中晶格的周期性轉(zhuǎn)化為k空間中的周期性，使我們能夠定義個布里魯因區(qū)域或周期性的基本間隔。

因此，我們的定律比描述自由顆粒行為的簡單二次依賴性要復(fù)雜得多。但是，如果ω（k）沒有猛烈變化，我們?nèi)匀豢梢砸越財酁橐浑A的泰勒級數(shù)進行開發(fā)。這使我們能夠定義一個組速度，該速度并不是能量傳輸發(fā)生的速度，因為在狀態(tài)ψbloch （x，t ）中未定義可觀察到的速度（這是能量特征的疊加）。這是能量的期望值，即，在相同系統(tǒng)的假設(shè)集合上執(zhí)行的統(tǒng)計平均值，該系統(tǒng)以組速度運輸。

在圖1和圖2中，我們分別了Broglie波數(shù)據(jù)包和Bloch波數(shù)據(jù)包的傳播。

讓我們回憶起，只有在允許忽略ω（k）功率序列擴展中的個中的訂單條款的情況下，這些結(jié)果才有效。否則，不可能定義波數(shù)據(jù)包的組速度。，讓我們注意到，在描述自由粒子的情況下，發(fā)現(xiàn)了始終發(fā)現(xiàn)波函數(shù)計算的解決方案。在這里，不必串聯(lián)擴展ω（k），并且可以定義組速度，因為初始剖面的傅立葉變換在給定的k 0圍繞在給定的k 0上。

因此，必須在k 0中計算ω（k ）的導(dǎo)數(shù)；確切的解決方案返回以下結(jié)果：波數(shù)據(jù)包傾向于“擴展”隨時間的函數(shù)，因此我們知道粒子的腹部X的不確定性會增加。但是，不確定性存在于初的特征中，這是海森伯格不確定性原理的結(jié)果。在任何情況下，高斯數(shù)據(jù)包都具有特殊性：初始輪廓是的不確定性，因為與位置和動量有關(guān)的不確定性的產(chǎn)物假定值。

在進化更復(fù)雜的情況下，發(fā)生了所謂的散射，這是由于單個單色組件以不同速度傳播的事實，這種現(xiàn)象是一種現(xiàn)象。

圖1：帶有高斯調(diào)制信封的de de de broglie波包的傳播

圖2：Bloch波數(shù)據(jù)包的傳播

耗散效應(yīng) - 群體延遲

在理解了Bloch波數(shù)據(jù)包的進化動力學(xué)之后，如De Broglie數(shù)據(jù)包（對于某些定期勢能的一類周期電勢）而言，它可以還原，我們可以考慮通過與晶格的相互作用確定的耗散效應(yīng)。通常，為了使波浪的隨之而來的衰減，波函數(shù)乘以指數(shù)阻尼因子。但是，這種選擇并未現(xiàn)實地再現(xiàn)耗散動力學(xué)，因為組成數(shù)據(jù)包的所有波都會經(jīng)歷相同的衰減。因此，定義基于每個組件的波K數(shù)的阻尼因子。

此外，由于該階段在量子力學(xué)（特別是單個組件之間的相對相）中起著基本作用，因此，對于更可靠的描述，定義一個復(fù)雜的阻尼系數(shù)，然后可以以極性形式表達，從而產(chǎn)生到極性。相位因子取決于波數(shù)k。換句話說，我們通過衰減和單個單色組件的相移來描述數(shù)據(jù)包的衰減。如果ω（k）和相對相φ（k）不會圍繞主要波數(shù)K0劇烈變化，則我們可以在泰勒級數(shù)中開發(fā)這些功能，然后在階結(jié)束時停止發(fā)展。

該過程返回一個有趣的結(jié)果：分散效應(yīng)產(chǎn)生一個特征數(shù)量，如所見，該數(shù)量是組速度V g ，而耗散效應(yīng)由特征長度λ0描述。上述效應(yīng)的組合給出了一個特征時間t 0，該時間由復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)規(guī)則表示。簡而言之，t 0是以ω0 = ω （k 0 ）計算的φ（ω ）的衍生物。波函數(shù)的分析表達是（由于它是正弦振蕩的時間，我們將相位的相位放在整個積分之外，而b（k）是阻尼成分的幅度）：

 

由此，我們看到傳播被因子T0延遲，我們將其稱為組延遲或過境時間。但是，沒有什么可以阻止我們猜測函數(shù)φ（ω）在ω0中降低的晶格的存在，因此t0 <0。在這種情況下，t 0是一個負(fù)組延遲或同一件事，群體會提前。在光子的特殊情況下，我們了一個有趣的觀察結(jié)果3：存在“帶隙”光學(xué)設(shè)備，它實際上反映了狹窄頻率范圍的所有入射電磁輻射。即使傳播高斯脈沖的質(zhì)心出現(xiàn)在真空中的過境時間之前，也不會違反因果關(guān)系。