量子力學(xué)的有序世界從根本上來說是基于線性算子理論的。各個(gè)物理量（能量、沖量、角動(dòng)量等）由作用于希爾伯特空間（歐幾里得空間的復(fù)數(shù)等價(jià)物）中振蕩的函數(shù)的算子來表示。這種范式使得我們所目睹的半導(dǎo)體器件（近年來的 SiC 和 GaN）的快速發(fā)展成為可能。然而，有相當(dāng)多的物理學(xué)家將線性解釋為非線性理論的近似過程的結(jié)果。在本期中，我們將研究非線性薛定諤型微分方程引起的影響。

與 Mathematica 的數(shù)值集成

這里我們指的不是穩(wěn)態(tài)薛定諤方程，而是與時(shí)間相關(guān)的方程（波動(dòng)方程），在我們打算研究的情況下，它是一個(gè)非線性偏微分方程（PDE）。這類方程很難解析求解，因此我們采用數(shù)值分析。此外，在線性情況下也會(huì)出現(xiàn)困難，例如產(chǎn)生布洛赫波的周期性勢。

我們的攻擊策略包括編寫一個(gè)方程，其中非線性項(xiàng)由系數(shù)β控制。因此，我們從β = 0開始，推導(dǎo)出 Bloch 數(shù)據(jù)包的動(dòng)態(tài)演化。下一步需要β的非零值。計(jì)算負(fù)荷不僅取決于非線性項(xiàng)，還取決于周期性電勢（順便說一句，在零電勢的情況下，可以解析求解非線性方程。

因此，必須添加周期勢作為“弱擾動(dòng)”；從物理上講，這意味著我們處于弱鍵近似，這是金屬行為的特征。圖 1 顯示了找到解決方案的時(shí)間順序。不應(yīng)解釋縱坐標(biāo)上的值，因?yàn)闉榱吮苊馍崛胝`差，我們已經(jīng)對(duì)方程中出現(xiàn)的物理常數(shù)（約簡普朗克常數(shù)和電子質(zhì)量）進(jìn)行了歸一化。初始脈沖是極其局部化的，之后它趨于變寬，這正是色散現(xiàn)象所預(yù)期的。

圖 1：布洛赫波包的時(shí)間演化。

在第三幀中，局部振蕩出現(xiàn)在與數(shù)據(jù)包的區(qū)域不相交的區(qū)域中，該區(qū)域逐漸增強(qiáng)，從而產(chǎn)生第二個(gè)數(shù)據(jù)包（第五幀和第六幀）。電子似乎分裂成位于各個(gè)數(shù)據(jù)包中的兩個(gè)“版本”。如前一期所示，布洛赫包可簡化為由與晶格具有相同周期性的函數(shù)調(diào)制幅度的德布羅意包。因此，電子不會(huì)分裂，我們只是以相同的概率在分配兩個(gè)數(shù)據(jù)包的區(qū)域中找到它：因此，我們處于隧道過程中。

現(xiàn)在讓我們考慮β > 0，這相當(dāng)于在薛定諤方程中引入非線性項(xiàng)。圖 2 是在給定時(shí)刻t > 0 且x從 -50 變化到 +50（采用通常的無量綱單位）以增加β值時(shí)解的演化序列。當(dāng)β = 0 時(shí)，方程是線性的，解繪制在張圖中。這是布洛赫波包的典型行為。

圖 2：孤子的形成。在（無量綱）時(shí)間t = 20，隨著β值的增加，布洛赫包塌陷為孤子

我們看到，在x =20（無量綱單位）的鄰域中找到電子的可能性很大，而且在x = 40的鄰域中也有很大的概率。沒什么奇怪的，這就是隧道效應(yīng)。在第二張圖中，[?5 , 15]中的振蕩趨于減弱。在下圖中，我們看到電子實(shí)際上位于x = 20 處，除了剩余的振幅可以忽略不計(jì)的振蕩之外。像往常一樣，我們不需要解釋縱坐標(biāo)的值，因?yàn)槲覀冇袩o量綱的薛定諤方程。

結(jié)論

結(jié)論部分是一組問題。我們首先觀察到系數(shù)β可能取決于晶格的熱力學(xué)平衡溫度T。眾所周知，超導(dǎo)性是在臨界溫度T c下發(fā)生的相變。因此，我們推測當(dāng)T > T c時(shí)， β = 0 。相反，當(dāng)T < T c時(shí)，會(huì)出現(xiàn)非線性效應(yīng)，如上一節(jié)所示，會(huì)產(chǎn)生孤子。

孤子的基本特征是它們不表現(xiàn)出德布羅意/布洛赫波包所特有的色散和展寬效應(yīng)，其中電子位置測量的不確定性隨著時(shí)間而增加。我們順便注意到，在信息論的范式中，波包的展寬可以通過信息的丟失來解釋，因此也可以通過香農(nóng)意義上的熵的丟失來解釋2。

那么我們能否將這種擴(kuò)大與熱力學(xué)意義上的熵增加聯(lián)系起來呢？如果我們考慮一組孤子型系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，答案是肯定的。從宏觀電子數(shù)量來看，金屬也是如此。我們認(rèn)為這種解釋很有趣，因?yàn)楦鶕?jù) BCS 模型 3，超導(dǎo)是典型的玻色-愛因斯坦型相變過程。眾所周知，這種過程是低熵的；在超導(dǎo)的情況下，由于焦耳效應(yīng)，不存在散熱。因此，我們的想法（遠(yuǎn)非結(jié)論性的）是，我們認(rèn)為超導(dǎo)性的波解釋是有用的，因?yàn)檫@可以推廣到其他領(lǐng)域，例如涉及生命物質(zhì)的物理過程，其特征是具有降低熵值的能力。