電子電路噪聲的入門課程通常首先闡述電阻器開路噪聲電壓的以下公式：

公式 1 中，k = 1.3806 x 10 -23 [J/K] 為玻爾茲曼常數(shù)，T 為開爾文溫度，R 為電阻值，單位為 Ω。

圖1 公式解釋E N,RMS = √4 kTR·BW

讓我們通過圖 1進一步解釋公式 1。E N ,RMS 是理想 RMS 測量電壓表在具有以下特性時指示的電壓：

輸入阻抗等于無窮大

無內部噪音產(chǎn)生

幅度特性如圖 1 所示，其帶寬（Hz）等于：BW = f h – f l

您可能會說這需要滿足很多條件；沒錯，但讓我們把事情變得更現(xiàn)實一些。首先，我們要測量的電壓很小，所以我們肯定要引入一些放大，比如電壓增益為A 而不是 1。然后我們的儀表會顯示：

此外，磚墻特性是不可能實現(xiàn)的，因為可以證明這種過濾器是非因果的。所以讓我們用可實現(xiàn)的濾波器特性替換它，如圖2所示。

圖 2可實現(xiàn)濾波器的公式E N,RMS 解釋

如果我們僅考慮無窮小的帶寬d f ，這與應用帶寬為d f且放大率為|H(jω)|的磚墻濾波器相同 ，則公式3轉換為：

數(shù)量

稱為噪聲等效帶寬（NEB ） 1。√4kTR稱為 噪聲電壓密度，我們用時尚的ε來表示它，以避免 與電壓E 本身混淆。所以我們也可以寫成：

現(xiàn)在，讓我們仔細看看公式 6。如果我們使用具有無限帶寬的濾波器特性，會發(fā)生什么？您可能認為電阻兩端的電壓是無限的。當然，這在現(xiàn)實中不可能是真的。這里有什么問題？一種解釋認為它源于量子現(xiàn)象。公式ε N,RMS = √4 kTR 不是完整的 公式， 它 只是一個近似值，實際上確切的公式是：

在公式 7 中，h = 6.6261 · 10 -34 [Js] 是普朗克常數(shù)。當f趨向 +∞ 時，因子p ( f ) 趨向于零，這將使ε N,RMS 的值保持 有限。讓我們針對具有無限帶寬的系統(tǒng)檢查這一點：

幸運的是，上一行中的積分稱為 Bose 積分，有一個已知的簡潔解決方案

這表明，對于 1MΩ 電阻和 300K 溫度，電壓永遠不會超過 0.41V。您還可以檢查，只要頻率低于 500 GHz，使用ε N ,RMS的兩個公式計算出的E N ,RMS百分比差異 多為 1%。當然，您可能會爭辯說，這樣的頻率在電子世界中是不現(xiàn)實的，但別忘了，如今已經(jīng)建造了振蕩頻率高于 1THz 的電路2。

出于好奇，我檢查了一些基于 Spice 的模擬器（我檢查了其中的四個，三個），看看它們在這些頻率下模擬噪聲的效果如何。盡管它們在 10 THz 等極端頻率下模擬得比較粗心，但我注意到它們都沒有在這些頻率下使用正確的電阻噪聲模型。

即使這個解釋是正確的，更注重實踐的人可能會對量子現(xiàn)象的解釋持懷疑態(tài)度。誰能責怪他們呢？已故的偉大人物理查德·費曼甚至說過：“如果你認為你理解量子力學，那么你就不懂量子力學。”因此，即使公式 7 解釋了為什么你永遠不會在電阻端子上得到無限大的電壓，在實際電子電路中，還有兩個因素將決定電阻的噪聲貢獻：電阻總是有一些寄生電容和/或帶寬限制。寄生電容問題通常在電阻與電容并聯(lián)時電壓的 RMS 值的標準推導中處理：

次看到這個結果時，你會驚訝地發(fā)現(xiàn)，電壓與電阻值無關。這個結果也可以通過量子力學來解釋，參見約翰遜-奈奎斯特噪聲。

然而，還有一種解釋，大多數(shù)電子人士更喜歡這種解釋，或者至少這種解釋讓他們相信這種結果：增加并聯(lián)電阻會增加噪聲，但系統(tǒng)的帶寬會降低，因此總體結果保持不變。從數(shù)學上證明這一點并不難。然而，這是否意味著只有寄生電容很重要？不，因為電阻通常連接到電路中帶寬有限的其他部分，所以寄生電容也起著作用。這種系統(tǒng)簡單的例子是一個電阻與一個電容器并聯(lián)，然后是一個一階系統(tǒng)，如圖3所示。

圖 3 具有輸入電容和一階放大器的系統(tǒng)，其直流增益為A 0 ，帶寬為BW

如果我們調用

然后我們可以得出噪聲輸出電壓的公式：

公式 8 可幫助您確定輸入電容（或輸入時間常數(shù)）和放大器帶寬對輸出端噪聲電壓的影響。請注意，當

結果簡化為：

這并不奇怪。當

我們得到結果：

出于實際目的，我們終可以推斷出以下經(jīng)驗法則：當一個時間常數(shù)至少比另一個時間常數(shù)小 10 倍時，通過忽略較小的時間常數(shù)，我們將產(chǎn)生小于 5% 的誤差。