模擬受載荷工況影響的旋轉(zhuǎn)物體是一種常見(jiàn)的仿真場(chǎng)景。有很多種方法可以模擬這種旋轉(zhuǎn)。這篇文章，我們將使用廣義拉伸算子來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，并討論為什么這種方法有用。

一個(gè)實(shí)用：通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式烤肉

受載荷工況影響的旋轉(zhuǎn)物體有很多。例如，烤雞或烤肉串，旋轉(zhuǎn)烤架上的肉會(huì)受到熱載荷的影響，這種熱載荷通常由煤塊等熱源輻射產(chǎn)生。旋轉(zhuǎn)是一種簡(jiǎn)單有效的熱量分配方式，它能夠避免烤盤任一區(qū)域發(fā)生過(guò)熱或過(guò)冷，從而輕松實(shí)現(xiàn)均勻加熱。

您可能已經(jīng)迫不及待了，下面我們就來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的。

激光加熱旋轉(zhuǎn)硅晶圓

我們來(lái)看一個(gè)激光加熱旋轉(zhuǎn)硅晶圓的。雖然此不像旋轉(zhuǎn)加熱的食物那樣讓人垂涎欲滴，但我相信這個(gè)同樣會(huì)給您帶來(lái)啟發(fā)。

您可能已經(jīng)在 COMSOL 軟件庫(kù)中或者的頁(yè)面見(jiàn)過(guò)這個(gè)：通過(guò)表面往復(fù)移動(dòng)的激光加熱旋轉(zhuǎn)平臺(tái)上的晶圓。這個(gè)問(wèn)題是在一個(gè)固定的坐標(biāo)系求解的，即全局坐標(biāo)系(可以想象自己站在工藝室外面，觀察晶圓在平臺(tái)上旋轉(zhuǎn)）。

在這個(gè)中，激光被模擬為沿著全局坐標(biāo)系中的 x 軸往復(fù)移動(dòng)的熱源，晶圓則繞全局坐標(biāo)系中的 Z 軸旋轉(zhuǎn)。晶圓的旋轉(zhuǎn)是通過(guò)固體傳熱物理場(chǎng)接口中的平移運(yùn)動(dòng)特征模擬的，該特征在瞬態(tài)傳熱控制方程中增加了一個(gè)對(duì)流項(xiàng)：

上述方程的右側(cè)項(xiàng)考慮了晶圓的旋轉(zhuǎn)情況，其中 圖片 是速度矢量。這個(gè)速度矢量可以解釋為材料進(jìn)入和離開(kāi)有限元網(wǎng)格中的每個(gè)單元，也就是說(shuō)，我們是在歐拉坐標(biāo)系求解這個(gè)問(wèn)題的。由于晶圓的幾何形狀是一個(gè)均勻的圓盤，施加的速度矢量描述了繞圓盤軸線的旋轉(zhuǎn)，因此這種方法合理有效。

但缺點(diǎn)是當(dāng)需要在模型中引入更多的物理場(chǎng)時(shí)，平移運(yùn)動(dòng)特征僅在傳熱物理場(chǎng)中可用，而對(duì)于許多其他物理場(chǎng)，我們不想在歐拉坐標(biāo)系中求解。

作為替代方案，我們可以在拉格朗日坐標(biāo)系中用隨晶圓材料旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來(lái)求解。(您可以把自己想象成一個(gè)站在晶圓表面的小人，這樣周圍的環(huán)境看起來(lái)是旋轉(zhuǎn)的，而晶圓看起來(lái)是靜止的）。

這樣，上述傳熱控制方程的右側(cè)項(xiàng)就變成了零，但現(xiàn)在我們需要考慮一個(gè)熱載荷，它不僅沿全局坐標(biāo)系的 X 軸往復(fù)移動(dòng)，還繞旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的 Z 軸旋轉(zhuǎn)。這聽(tīng)起來(lái)很復(fù)雜，但實(shí)現(xiàn)起來(lái)其實(shí)很簡(jiǎn)單。

 

在全局坐標(biāo)系中，觀察者會(huì)看到一個(gè)激光熱源沿 X 軸往返移動(dòng)的旋轉(zhuǎn)晶圓（左）。在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，隨晶圓一起旋轉(zhuǎn)的觀察者將觀察到晶圓是靜止的，但熱源在 X-Y 平面上沿著復(fù)雜的路徑移動(dòng)（右圖）。

通過(guò)廣義拉伸算子實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)

廣義拉伸算子提供了一種機(jī)制，可以將一個(gè)坐標(biāo)系中的場(chǎng)變換到另一個(gè)坐標(biāo)系。關(guān)于這類應(yīng)用，我們之前已經(jīng)介紹過(guò)，包括但不限于子模型，耦合不同的物理場(chǎng)接口，以及計(jì)算移動(dòng)點(diǎn)的結(jié)果。

在此，我們將使用廣義拉伸算子對(duì)施加的載荷進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。通過(guò)由下列旋轉(zhuǎn)矩陣給出的全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中施加模擬中的載荷：

 

我們以一個(gè)已有的硅晶片激光加熱為例來(lái)說(shuō)明，先簡(jiǎn)單地移除模型中的平移運(yùn)動(dòng)特征。然后需要添加一個(gè)廣義拉伸算子來(lái)實(shí)現(xiàn)上述變換，如下方截圖所示。同時(shí)，還需要添加第二個(gè)算子來(lái)施加反向變換，這可以通過(guò)改變旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的符號(hào)完成。

 

使用廣義拉伸算子施加一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換。

施加的熱載荷是通過(guò)一個(gè)用戶定義的函數(shù) hf(x,y,t) 來(lái)描述的，該函數(shù)描述了激光加熱載荷如何在全局坐標(biāo)系中沿 x 軸往復(fù)移動(dòng)。通過(guò)廣義拉伸算子將這個(gè)移動(dòng)載荷變換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，如下面截圖所示。

 

在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中施加熱載荷，通過(guò)全局坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)變換定義。

就這樣簡(jiǎn)單，現(xiàn)在您可以像上文提到的模型中那樣求解這個(gè)模型。

現(xiàn)在，結(jié)果是在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中計(jì)算的。對(duì)我們來(lái)說(shuō)，通過(guò)廣義拉伸算子施加反向變換，在全局坐標(biāo)系中繪制溫度的解可能更符合實(shí)際。這樣，我們就可以將溫度場(chǎng)可視化，就像我們站在工藝室外面，用熱成像儀觀察旋轉(zhuǎn)中的晶圓一樣。

 

第二個(gè)廣義拉伸算子用于將結(jié)果旋轉(zhuǎn)回全局坐標(biāo)系。

結(jié)束語(yǔ)

無(wú)論您使用的是平移運(yùn)動(dòng)特征還是廣義拉伸算子，隨時(shí)間變化的溫度場(chǎng)模擬結(jié)果都是相同的。盡管廣義拉伸算子需要更多的計(jì)算資源，并且需要更長(zhǎng)的求解時(shí)間，但如果您感興趣的不僅僅是熱模擬的解，就需要使用它。

例如，如果您還需要計(jì)算由溫度驅(qū)動(dòng)的化學(xué)擴(kuò)散和反應(yīng)過(guò)程，或者計(jì)算晶圓加熱過(guò)程中熱應(yīng)力的演變，這些問(wèn)題就應(yīng)該使用隨晶圓旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系求解。

當(dāng)然，還有許多其他的應(yīng)用可以使用廣義拉伸算子，但我希望今天介紹的內(nèi)容能夠解決您的問(wèn)題。