20 世紀 50 年代，數學家恩斯特·施特勞斯（Ernst Straus）提出了一個有趣的問題：在一個側壁由理想反射鏡構成的任意形狀的空房間里，一個點光源是否總能照亮整個房間？諾貝爾獎獲得者羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）爵士巧妙地回答了這個問題，他設計了一個包含不能被照亮區(qū)域的房間，因此被稱為“無法被完全照亮的彭羅斯房間”（以下簡稱“彭羅斯房間”）。然而，彭羅斯房間真的不能被完全照亮嗎？在今天這篇文章中，我們將使用 COMSOL Multiphysics 軟件進行模擬，看看情況是不是像他所回答的那樣，并討論了射線光學的基本假設。

照明問題

當你次聽到這個問題時，可能不能立即明白它到底在問什么。我們以下圖中的示例來說明。如左圖所示，一個二維房間的鏡面墻可以是任意形狀，光源可以位于房間內的任何位置。在這種特殊情況下，很容易想象整個房間都會被光源照亮，這一點也在右圖中的射線追蹤模擬中得到了證實。本質上，施特勞斯的問題是：是否存在這樣一種房間形狀設計，當在其中放置點光源時，某些區(qū)域不會被照亮。

圖片一個任意形狀的空房間，周圍是完美的鏡子，房間內放有一個點光源(左)。射線追蹤模擬顯示整個房間都被點光源照亮(右)。

看到這個問題，我立刻想到，也許一個拐角很尖的房間可以阻止某些區(qū)域被照亮。但是，你可能已經猜到了：如果可以這么容易地計算出一個不能被照亮的房間的形狀，那么對于科學界來說，這就不是一個有趣的問題了。我們可以看到，只要有足夠的時間，燈光總會照亮整個房間。在這一點上，你可能不相信并認為你可以設計一個不能被照亮的房間。如果你準備接受這個挑戰(zhàn)，歡迎你隨時使用 COMSOL 射線光學模塊來試一試。

 

帶有尖角的房間完全被點光源照亮。

無法被完全照亮的彭羅斯房間

這個棘手的問題終被杰出的 2020 年諾貝爾物理學獎得主羅杰·彭羅斯解決了。如下圖所示，他的設計初看并不顯眼。這個房間由頂部和底部的兩個橢圓形墻壁和一個帶有兩個“傘”形切口的矩形區(qū)域組成。設計的要求是，將頂壁和底壁描述為橢圓 圖片，并且橢圓的焦點與傘的角點重合。一些細節(jié)，諸如 圖片 和 圖片 的具體值、傘的形狀、傘的寬度等都不會改變房間的屬性。

 

無法被完全照亮的彭羅斯房間的設計。

讓我們使用射線光學模塊來看看它是否有效！在下面的動畫中，我們將點光源放置在一些具有代表性的位置——中心、上半部分和左邊傘的左側（如果我們假設傘是直立的，那么光源就位于傘的下方），光線從這些點各向同性地發(fā)射。顯然，在任何情況下，都存在未被光照亮的區(qū)域。當光源被放置在傘的下方時，光線甚至不會傳播到房間的下半部分。請注意，這并不是因為時域仿真運行時間不夠長。即使時間接近無限長，這些陰影區(qū)域仍然沒有被照亮。

 

將點光源放置在彭羅斯房間的不同位置進行射線追蹤模擬。在任何情況下，總是存在未照亮的區(qū)域。

彭羅斯房間的獨特性來自于橢圓鏡的特殊性。你可能還記得，在大學光學課上學過，從橢圓鏡的一個焦點發(fā)出的光將聚焦在另一個焦點上，下面左下方的動畫演示了這一特性。橢圓鏡另一個鮮為人知的特性是，當光線從橢圓的一個焦點和其近的頂點之間發(fā)出時，它只會到達另一個焦點和另一個頂點之間的一點，永遠不會與焦點之間的長軸相交，這個特性在下面中間的動畫中進行了演示。此外，從兩個焦點之間發(fā)出的光永遠不會與每個焦點和其近的頂點之間的長軸相交，如下面右邊的動畫所示。

 

左：在焦點處發(fā)射的光線只會在焦點處與長軸相交。中：在焦點和近的頂點之間發(fā)射的光線不會與焦點之間的長軸相交。右：在兩個焦點之間發(fā)射的光線只會與焦點之間的長軸相交。

考慮到這些特性，我們可以將彭羅斯房間劃分為如下所示的區(qū)域。再次提醒，在彭羅斯的設計中，橢圓的焦點與傘的邊緣重合。因此，我們知道：

放置在A1里面的一個點光源，只會照亮 ，A1,B1和 A2，因為它永遠不能與焦點之間的橢圓長軸相交并進入 C1 區(qū)域。

放置在 B1 的一個點光源，不能照亮 A3 和 A4，因為光線只能進入下橢圓的兩個焦點之間的下半部。因此，它們永遠不能與焦點和頂點之間的長軸相交并進入 A3 和 A4。

同樣的原因，放置在C1 的一個點光源，不能照亮 A1, A2, A3和 A4。

由于對稱性，放置在房間下半部分相應區(qū)域的光源也會產生相同的效果。因此，我們可以得出結論，無論點光源放置在房間內的哪個位置，彭羅斯房間都會存在不能被照亮的區(qū)域。

 

將房間劃分為不同的區(qū)域。放置在 A1 區(qū)域的一個光源只會照亮 A1, B1和 A2區(qū)域；放置在 區(qū)域的 一個光源不會照亮A3 和 A4。放置在 C1 的一個光源不會照亮 A1,A2,A3 和 A4。

讓光存在：照亮沒有照亮的區(qū)域

上文中的射線追蹤模擬似乎顯示了令人信服的結果，證實了房間無法被照亮，但真的是這樣嗎？我們不能忘記射線光學的基本假設：光的波長遠遠小于與光相互作用的物體的大小，因此，衍射效應可以完全忽略。我們記得 圖片 是描述房間頂部和底部墻壁的橢圓的長軸。射線光學模擬本質上是假設波長 <<。如果我們有一個大小在米級尺度的真實房間，光源在可見光譜范圍內（約 500nm 波長），這個假設是成立的。但是，如果我們縮小房間或者增加光的波長，使 圖片 與 圖片 大小相當，那會怎樣？

為了測試這一點，我們現在使用波動光學模塊進行全波模擬。一個點[線電流（面外）]放置在左上角的傘的下方（圖片 區(qū)域)，類似于上面顯示的房間的第三個射線追蹤動畫。線電流用作點源，發(fā)射出電場指向面外方向的圓柱形波。在頻域中模擬波長增加時的場分布，如下圖所示。正如預期的那樣，在 圖片（左上）時，場分布與射線追蹤模擬相似。場似乎沒有穿過房間的下半部分。然而，隨著波長變長，衍射更加突出，場滲入到房間的下半部分。在 圖片（左下）和 圖片（右下）時，很明顯之前沒有被照亮的區(qū)域被照亮了！

圖片在 圖片, 圖片, 圖片 和 圖片 時，模擬的頻域中的場分布。在較短的波長下，場分布與射線追蹤結果類似。然而，在較長的波長下，場會穿透到之前由于衍射而沒有被照亮的區(qū)域。圖中繪制了電場的模。

除了使用電磁波，頻域接口來展現達到穩(wěn)態(tài)時的場分布外，使用電磁波，瞬態(tài)接口運行時域仿真可以通過視圖查看波的傳播和衍射過程。

 

由位于房間上半部的左側傘的“下方”（左側）的線電流發(fā)出的面外電場，并在時域中進行了模擬。由于衍射，電場滲入到房間的下半部分。波長為 。

波干涉

到目前為止，我們的模擬似乎表明彭羅斯房間只有在忽略衍射效應的前提下才能不被照亮。但是，我們必須意識到，不能急于得出這個結論，實際情況更加復雜。當光的波動性出現時，需要考慮另一個重要現象——干涉。通過查看頻域仿真結果，我們可以看到，在許多區(qū)域，電場模實際上為零。這是因為出射波和衍射波相互干涉，形成一個場強存在零點的駐波模式。因此，從某種意義上說，這些區(qū)域在達到穩(wěn)態(tài)時并未被照亮。如果等待足夠長的時間，總會有沒有光線的區(qū)域。從時域角度來看，當光波次傳播到這些區(qū)域時，它們在一段時間內被照亮，直到衍射波到達后抵消電場。從這個意義上說，整個房間至少在一段時間內都被照亮了?？傊麄€房間有沒有被照亮取決于你的解釋。重要的是，我們可以看到，在不同的尺度上，光學現象看起來可能大不相同。作為仿真工作者，我們始終需要牢記波動光學和射線光學之間的根本區(qū)別，以及與之相關的獨特現象。

結語

除了這個有意思的數學謎題之外，彭羅斯房間是展示波動光學和射線光學之間根本區(qū)別的一個很好的例子。在不同的假設下，同一個問題的結論可能完全不同。它還回答了很多初學者提出的問題：COMSOL? 軟件有兩個光學模塊。我應該使用波動光學模塊還是射線光學模塊來模擬我的光學問題？簡單的回答是：我們研究的幾何尺寸遠大于相關波長，如可見光與相機透鏡系統(tǒng)的交互或街道上運行的激光雷達，那么使用射線光學模塊就非常合適。另一方面，如果我們關注的是尺寸與波長相當或更小的納米粒子的光散射現象，那么使用波動光學模塊或 RF 模塊進行全波模擬是不可避免的。同時，模塊的選擇還取決于你感興趣的物理量和過程。例如，射線光學模擬可以生成光傳播路徑，而波動光學模擬可以渲染完整的電場分布。

為你的仿真選擇合適的模塊不僅可以確保仿真結果的準確性，還可以節(jié)省大量的仿真時間。